【求导公式运算法则】在微积分的学习中，求导是基础且重要的内容之一。掌握常见的求导公式和运算法则是解决复杂函数求导问题的关键。本文将对常用的求导公式和运算法则进行总结，并通过表格形式直观展示，便于理解和记忆。
一、基本求导公式
以下是常见初等函数的导数公式：
| 函数表达式 | 导数 |
| $ f(x) = C $（C为常数） | $ f'(x) = 0 $ |
| $ f(x) = x^n $（n为实数） | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = a^x $（a > 0, a ≠ 1） | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ |
| $ f(x) = \cot x $ | $ f'(x) = -\csc^2 x $ |
二、求导运算法则
在实际应用中，往往需要对多个函数进行加减乘除或复合运算，因此掌握以下运算法则尤为重要：
1. 基本四则运算法则
| 运算类型 | 公式 | 说明 |
| 加法法则 | $ [f(x) + g(x)]' = f'(x) + g'(x) $ | 两个函数和的导数等于各自导数之和 |
| 减法法则 | $ [f(x) - g(x)]' = f'(x) - g'(x) $ | 两个函数差的导数等于各自导数之差 |
| 乘法法则 | $ [f(x) \cdot g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) $ | 两个函数积的导数为导数乘另一函数的和 |
| 除法法则 | $ \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} $ | 两个函数商的导数为分子导数乘分母减去分子乘分母导数，再除以分母平方 |
2. 链式法则（复合函数求导）
若 $ y = f(u) $，而 $ u = g(x) $，则：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
$$
即：外层函数导数乘以内层函数导数。
3. 反函数求导法则
若 $ y = f(x) $ 有反函数 $ x = f^{-1}(y) $，则：
$$
\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}} \quad ( \text{当 } \frac{dy}{dx} \neq 0 )
$$
三、小结
求导不仅是数学分析的基础工具，也是物理、工程、经济学等多个领域的重要手段。熟练掌握基本求导公式与运算法则，能够帮助我们更高效地处理各种函数的导数问题。
通过上述表格的形式，可以快速查阅各类函数的导数及运算规则，有助于加深理解并提高解题效率。建议在学习过程中结合例题练习，逐步提升对导数的应用能力。
