【为什么复合函数同增异减】在数学中，复合函数是由两个或多个函数组合而成的函数。例如，若 $ f(x) $ 和 $ g(x) $ 都是函数，则它们的复合函数可以表示为 $ f(g(x)) $ 或 $ g(f(x)) $。在分析复合函数的单调性时，常会提到一个重要的结论：“同增异减”，即如果两个函数都是增函数或都是减函数，则复合函数是增函数；如果一个是增函数，另一个是减函数，则复合函数是减函数。
下面我们将从定义、原理和实例三个方面来总结这一现象，并通过表格形式进行对比说明。
一、定义与基本概念
- 增函数：在区间 $ I $ 上，若对于任意 $ x_1 < x_2 $，都有 $ f(x_1) < f(x_2) $，则称 $ f(x) $ 在 $ I $ 上为增函数。
- 减函数：在区间 $ I $ 上，若对于任意 $ x_1 < x_2 $，都有 $ f(x_1) > f(x_2) $，则称 $ f(x) $ 在 $ I $ 上为减函数。
- 复合函数：设 $ y = f(u) $，$ u = g(x) $，则 $ y = f(g(x)) $ 称为由 $ f $ 和 $ g $ 构成的复合函数。
二、复合函数“同增异减”的原理
复合函数的单调性取决于内部函数和外部函数的单调性：
- 若 $ g(x) $ 是增函数，且 $ f(u) $ 是增函数，则 $ f(g(x)) $ 是增函数（同增）。
- 若 $ g(x) $ 是增函数，而 $ f(u) $ 是减函数，则 $ f(g(x)) $ 是减函数（异减）。
- 若 $ g(x) $ 是减函数，而 $ f(u) $ 是增函数，则 $ f(g(x)) $ 是减函数（异减）。
- 若 $ g(x) $ 是减函数，且 $ f(u) $ 是减函数，则 $ f(g(x)) $ 是增函数（同减）。
因此，“同增异减”指的是当内外函数的单调性一致时，复合函数保持单调性；当内外函数的单调性不一致时，复合函数的单调性会发生反转。
三、实例分析
| 函数组合 | 内函数 $ g(x) $ 单调性 | 外函数 $ f(u) $ 单调性 | 复合函数 $ f(g(x)) $ 单调性 | 说明 |
| $ f(x) = \sqrt{x} $, $ g(x) = x^2 $ | 增（在 $ x > 0 $） | 增 | 增 | 同增，结果仍为增函数 |
| $ f(x) = \frac{1}{x} $, $ g(x) = x + 1 $ | 增 | 减 | 减 | 异减，结果为减函数 |
| $ f(x) = -x $, $ g(x) = \ln x $ | 增 | 减 | 增 | 同减，结果为增函数 |
| $ f(x) = e^x $, $ g(x) = -x $ | 减 | 增 | 减 | 异减，结果为减函数 |
四、总结
复合函数的单调性由内函数和外函数的单调性共同决定。当两者单调性相同时，复合函数保持原单调性；当两者单调性相反时，复合函数的单调性发生反转。这种规律被称为“同增异减”。
表格总结
| 条件 | 结果 |
| 内函数增，外函数增 | 复合函数增 |
| 内函数增，外函数减 | 复合函数减 |
| 内函数减，外函数增 | 复合函数减 |
| 内函数减，外函数减 | 复合函数增 |
通过理解这一规律，可以更快速地判断复合函数的单调性，避免繁琐的求导过程，提高解题效率。
